Vieille de plus de 4000 ans, la Trigonométrie n’en est pas moins moderne.
Elle nous vient de l’étude des astres et est aujourd’hui omniprésente dans de nombreux domaines scientifiques.
Mais pas de panique, elle a été inventée pour nous simplifier les calculs en établissant un lien entre les angles et les côtés d’un triangle.
Découvrons …
En 2013, une mission archéologique belge a découvert les vestiges d’une pyramide.
Il reste une base carrée de 12 mètres de côté.
On y trouve aussi des pierres de parement. Leur inclinaison avec l’horizontale mesure 71°.
Quelle était la hauteur
de cet édifice ?
Une idée
Traçons un triangle à échelle réduite pour y mesurer la hauteur recherchée.
Ce triangle sera à la fois semblable à celui sur la pierre de parement, et au grand triangle rectangle reliant le sommet, le centre et le bord de la pyramide.
Aux outils de géométrie
Avec un logiciel de géométrie
Conclusion et observations
La pyramide mesurait donc environ 17 mètres.
Finalement, nous avons devant les yeux une multitude de triangles rectangles semblables, plus ou moins grand, avec un angle de 71° et un côté adjacent à cet angle multiple de 6 unités … celui réalisé aux outils ou son image sur l’écran … celui construit avec géogebra ou son image agrandie ou réduite … et puis le triangle originelle de la pyramide.
Dans cette famille de triangles semblables, Amusons-nous à déterminer le coefficient multiplicatif qui relie le côté adjacent à 71° et le côté opposé à 71 °, ainsi que les autres coefficients multiplicatifs possibles.
Que remarquons-nous ?
Que retenir ?
Dans la famille des triangles rectangles avec un angle de 71°, il existe des coefficients multiplicatifs constants,
reliant les côtés.
C’est également le cas dans toutes les familles de triangles rectangles
définies par un angle.
Que savoir ?
Ces trois coefficients multiplicatifs sont appelés
Cosinus, Sinus et Tangente de l’angle non droit.
Afin d’utiliser ces coefficients, les mathématiciens
ont, depuis 150 ans avant notre ère, établi des
tables trigonométriques qui répertorient leurs
valeurs, en fonction de l’angle non droit.
Aujourd’hui, la calculatrice permet facilement de
déterminer ces coefficients.
Au Brésil, Insano est un des toboggans le plus haut au monde.
Le départ est à 41 mètres du sol et la descente mesure 49,5 mètres.
Quel est son angle d’inclinaison avec le sol ?
Le sinus de l’angle cherché vaut :
Quel angle a son SINUS qui vaut environ 0,83 ?
La lecture d’une table trigonométrique donne un encadrement entre 56° et 57°.
La calculatrice permet un résultat plus précis :
ARCSIN(0,83) ≈ 56,1°
ATTENTION !
- un cosinus, un sinus ou une tangente est un coefficient et non un angle.
En bonus