Les fonctions - Boss'En Math

Quand je tire un boulet de canon, quelle est sa trajectoire ?
Au XVII^e siècle, le mathématicien Galilée propose une solution inédite … la parabole.
Aujourd’hui, on sait que l’altitude $y$ du boulet en fonction de sa distance $x$ au canon s’exprime par une formule semblable à :
$y =$ $–$ 0,0005 $x$ ² + 0,2 $x$ + 0,5

Voici une fonction mathématique !

Découvrons …

Situation 1

A partir de cette image, déterminer la formule pour convertir les degrés Celsius
en degrés Fahrenheit ?

Une droite passant par l’origine traduit une situation de proportionnalité.

Or sur la droite orange , les coordonnées du point A sont (100 ; 180).

Nous en déduisons le coefficient multiplicatif 1,8 car 100 x 1,8 = 180.

Donc, T°F – 32 = T°C x 1,8

Conclusion : T°F = T°C x 1,8 + 32

Situation 2

Comment fonctionne
ce tour de magie ?

Notons $x$ le nombre pensé.
En sortie de programme, on obtient :

2( $x$ – 1) – 1 + $x$

Développons et réduisons :

A = 2( $x$ – 1) – 1 + $x$
A = 2 $x$ – 2 – 1 + $x$
A= 3 $x$ – 3

Ainsi, si j’ajoute 3 à 3 $x$ – 3, j’obtiens 3 $x$ .

3 $x$ – 3 + 3 = 3 $x$

Donc, le résultat de ce programme donne toujours
le triple du nombre pensé,
quelque soit le nombre pensé.

Il est donc aisé de « deviner » le nombre pensé
en prenant le tiers du résultat.

Situation 3

Pour fabriquer un container, une entreprise découpe, plie et assemble une tôle rectangulaire.

L’entreprise souhaite un container de volume maximal.
Voici l’écran de modélisation réalisée à l’aide de géogebra.

Décrire cet écran et aidez l’entreprise à optimiser son container.

Que retenir ?

Que savoir ?

Parmi toutes les fonctions mathématiques,
les plus simples sont celles
qui se représentent par des droites.

Le degré Fahrenheit (symbole : °F) est une unité de mesure
de la température, proposée par le physicien allemand
Daniel Gabriel Fahrenheit en 1724.

Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité.
Une fonction affine traduit une situation de proportionnalité qui a subi un décalage.
Une fonction constante traduit une situation où le nombre en sortie est fixe, quelque soit le nombre en entrée.

Une fonction linéaire s’écrit sous la forme $y = ax$ , $a$ étant le coefficient directeur.
Une fonction affine s’écrit sous la forme $y = ax+b$ , $a$ étant le coefficient directeur, et $b$ l’ordonnée à l’origine.
Une fonction constante s’écrit sous la forme $y = k$ , $k$ étant un nombre fixe.

Si $a >0$ la fonction est croissante et la droite monte.
Si $a< 0$ la fonction est décroissante et la droite descend.
Si $a= 0$ la fonction est constante et la droite est horizontale.

Si $b >0$ la droite rencontre l’axe des ordonnées au dessus du zéro.
Si $b< 0$ la droite rencontre l’axe des ordonnées en dessous du zéro.
Si $b =0$ la droite passe par l’origine du repère. C’est une fonction linéaire.

En bonus

« Que fait y depuis son axe, quand il affiche l’image de x ?

Réponse : Il renvoie à x son image, comme un miroir.
C’est son métier, sa fonction.
C’est pour cela que l’on dit.

Soit f la fonction qui à x associe y, l’image de x par f et f(x)=y. »

Extrait de De l’origine des mathématiques, Clémence Gandillot.

Fonction : mot issu du latin functio, defungi, « s’acquitter ».
Soit A et B deux ensembles.
On appelle fonction une application qui, à tout élément x de l’ensemble A, fait correspondre un élément et un seul, noté f(x), de l’ensemble B.
Cet élément f(x) est appelé image de x par f.

Extrait de De l’origine des mathématiques, Clémence Gandillot.