Connaissez-vous Hippase de Métapont ?
A l’heure des lanceurs d’alerte, en voici un qui, selon la légende, aurait défié le grand Maître Pythagore. Il y a 500 ans, il divulgua que :
non ! … tout n’est pas nombre !
Sacrilège ! Il fut exclu de l’École des Pythagoriens et mourut noyé.
Découvrons …
Socrate
» Aux outils de géométrie,
comment construire un carré
d’aire double d’un autre carré ? «
d’après Le Ménon de Platon
- Dans chaque construction, l’aire du carré obtenu est le quadruple du carré initial.
- La 3ème construction illustre que quand la longueur double, l’aire quadruple.
Comment répondre à Socrate ?
- La solution est au pied de la Pyramide du Louvre.
- Elle a été réalisée par l’architecte américain d’origine chinoise Ieoh Ming Pei.
- Elle fut inaugurée le 29 mars 1989.
- Ce motif est la vue du dessus du parvis du Musée du Louvre.
Hippase de Métapont
» Le carré d’aire 2 unités d’aire existe donc.
Quelle est alors la mesure de son côté ? «
Nous cherchons la mesure d’un carré dont l’aire vaut 2 unités d’aire. Il faut donc chercher une mesure entre 1 et 2 unité de longueur (plus proche de 1 que de 2).
A nouveau, il faut chercher une mesure entre 1,4 et 1,5 unité de longueur (plus proche de 1,4 que de 1,5).
1,4 <?< 1,5
- En poursuivant, nous atteignons le nombre 1,41421356237309.
- Mais 1,41421356237309 x 1,41421356237309 ≈ 2 sans pour autant obtenir une aire parfaitement égale à 2.
- Il est aisé de prouver que le nombre cherché n’est ni décimale ni fractionnaire.
- Or selon Pythagore, tout s’exprime et se mesure en nombres entiers ou décimaux.
- Pythagore a donc tort et nous avons découvert une figure dont il est impossible d’atteindre son côté par la mesure.
Que retenir ?
Il existe des mesures qui ne peuvent être atteints
par des nombres décimaux ou fractionnaires.
C’est le cas du côté du carré d’aire 2.
On trouve les premières traces de ces nombres que l’on ne peut pas compter jusqu’aux civilisations babyloniennes.
Tablette babylonienne (environ 1700 avant J.C)
Les grecs parlaient de grandeurs incommensurables.
Au 18e siècle, le terme de nombres sourds est utilisé.
On parle aujourd’hui de nombres irrationnels … au delà de la raison.
Que savoir ?
= 2
car est la mesure du côté du carré d’aire 2.
On le prononce racine carrée de deux.
Il est aisé de généraliser la racine carrée à d’autres carrés.
est la mesure du côté du carré d’aire 3.
est la mesure du côté du carré d’aire 4 et = 2 car 2 x 2 = 4.
est la mesure du côté du carré d’aire 5.
…
est la mesure du côté du carré d’aire 9 et = 3 car 3 x 3 = 9.
La racine carrée d’un nombre carré
est un nombre entier.
Des règles particulières existent pour effectuer des calculs avec ces
nouveaux nombres.
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